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Primzahlen

Jede Zahl ist durch 1 und sich selbst teilbar, d.h. teilbar ohne Rest. Alle natürlichen positiven Zahlen, die größer als 1 und nur durch 1 und sich selbst teilbar sind, heißen Primzahlen. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Primzahlen unter 100

Beispiel einer sehr großen ausgeschriebenen Primzahl: http://www.mersenne.org/primes/perfect/perfect110503.txt

Ein weiteres Beispiel ist folgende Zahl, die hier dargestellt ist.

2 57885161 - 1

Diese Zahl wurd am 25. Januar 2015 gefunden. Sie hat 17.425.170 Stellen.

besondere Primzahlen

Mersenne-Primzahl

Eine Mersenne-Zahl ist eine Zahl der Form 2r-1, wobei r eine positive ganze Zahl ist. Die Primzahlen unter ihnen werden als Mersenne-Primzahlen bezeichnet. Im Spezeiellen bezeichnet man sie als Mn=2r-1, also die 1. Mersenne-Primzahl usw. Es sind zur Zeit 48 Primzahlen dieser Art bekannt. Unter http://www.mersenne.org/ gibt es mehr zu diesem Thema und man kann aktiv nach neuen Mersenne-Primzahlen mitsuchen.

Beispiele: 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 12

Fermat-Primzahlen

Die Fermat-Primzahlen sind ähnlich definiert wie die Mersenne-Primzahlen, jedoch wird 1 addiert, nicht subtraiert.

2r+1

Primzahlzwillinge

Primzahlzwillinge sind Primzahlen, die einen Abstand von 2 voneinander haben. Zwischen ihnen liegt also immer eine gerade Zahl.

p1-p2=2

Hier sind einige Beispiele:

Die Zahl zwischen den Primzahlzwillingen ist, außer zwischen 3 und 5, immer durch 6 teilbar. Alle Primzahlen die größer als 3 sind, lassen sich wie folgt darstellen:

6n-1 oder 6n+1

Daraus folgt, dass sich jedes Primzahlzwillingspaar wie folgt darstellen lässt:

6n-1 6n+1

Sätze über Primzahlen

starke Goldbach-Vermutung

Sie besagt, dass jede gerade Zahl größer als 2, als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden kann.

schwache Goldbach-Vermutung

Sie besagt, dass jede ungerade Zahl größer als 5, als Summe dreier Primzahlen dargestellt werden kann.

Dreiprimzahlsatz

Jede natürliche ungerade Zahl ≥ 9 ist Summe dreier ungerader Primzahlen.

Dirichletscher Primzahlsatz

Wenn ggT(a,b)=1, dann gibt es unendlich viele Primzahlen p der Form p = n a + b ( n IN ) .

Kleiner Satz von Fermat

Wenn p eine Primzahl ist und n eine natürliche Zahl, die kein Vielfaches von p ist, gilt n p - 1 - 1 ist teilbar durch p.

Primfaktorzerlegung

Jede natürliche Zahl die größer als 1 und selbst keine Primzahl ist, kann als eindeutiges Produkt von Primzahlen dargestellt werden.

Beispiele:

Man kommt immer auf die selben Primfaktoren, egal wie man vorgeht.

Quellen

  • letzte Änderung: 2016-01-05 18:52:54
  • Autor: Torsten Witt
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